Định nghĩa ban đầu của tích phân Riemann không áp dụng cho một hàm như  1 / x 2 {\displaystyle 1/{x^{2}}} trên khoảng [1, ∞), bởi vì trong trường hợp này miền của tích phân không bị chặn. Tuy nhiên, tích phân Riemann thường có thể được mở rộng bằng tính liên tục, bằng cách định nghĩa tích phân suy rộng, thay vì là một giới hạn

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim b → ∞ ∫ 1 b 1 x 2 d x = lim b → ∞ ( − 1 b + 1 1 ) = 1. {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}

Định nghĩa hẹp của tích phân Riemann cũng không bao gồm hàm số  1 / x {\displaystyle 1/{\sqrt {x}}} trên khoảng [0, 1]. Vấn đề ở đây là hàm lấy tích phân không bị chặn trong miền tích phân (định nghĩa đòi hỏi cả miền của tích phân và của hàm lấy tích phân phải bị chặn). Tuy nhiên, tích phân suy rộng vẫn tồn tại nếu được hiểu là giới hạn

∫ 0 1 1 x d x = lim a → 0 + ∫ a 1 1 x d x = lim a → 0 + ( 2 − 2 a ) = 2. {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}(2-2{\sqrt {a}})=2.}

Đôi khi các tích phân có thể có hai điểm kỳ dị không thích hợp. Ví dụ, xét hàm 1/((x + 1)√x) được lấy tích phân từ 0 đến ∞ (shown right). Tại giới hạn dưới, khi x tiến tới 0 hàm tiến tới ∞, và giới hạn trên cũng chính là ∞, dù hàm tiến tới 0. Như vậy đây là tích phân suy rộng kép. Ví dụ lấy tích phân từ 1 đến 3, tổng Riemann bình thường cũng đủ đưa ra kết quả π/6. Lấy tích phân từ 1 đến ∞, tổng Riemann không thể cho ra kết quả. Tuy nhiên, giới hạn trên hữu hạn bất kỳ, như t (với t > 1), cho kết quả rõ ràng, 2 arctan(√t) − π/2. Tích phân này có giới hạn hữu hạn khi t đến vô cùng,cụ thể là π/2. Tương tự như vậy, tích phân từ 1/3 đến 1 cho phép dùng tổng Riemann, tình cờ một lần nữa cho ra kết quả π/6. Thay 1/3 bằng một giá trị dương tùy ý s (như s < 1) cũng không kém phần an toàn, cho π/2 − 2 arctan(√s). này cũng có giới hạn hữu hạn khi s tiến đến không, cụ thể là π/2. Kết hợp các giới hạn của hai đoạn, kết quả của tích phân suy rộng này là

∫ 0 ∞ d x ( x + 1 ) x = lim s → 0 ∫ s 1 d x ( x + 1 ) x + lim t → ∞ ∫ 1 t d x ( x + 1 ) x = lim s → 0 ( π 2 − 2 arctan ⁡ s ) + lim t → ∞ ( 2 arctan ⁡ t − π 2 ) = π 2 + ( π − π 2 ) = π . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}

Quá trình này không đảm bảo thành công; giới hạn có thể không tồn tại, hoặc có thể là vô hạn. Ví dụ, trong khoảng bị chặn từ 0 đến 1 tích phân của 1/x không hội tụ; và trong khoảng không bị chặn từ 1 đến ∞ tích phân 1/√x không hội tụ.

Trường hợp cũng có thể xảy ra là một hàm lấy tích phân không bị chặn gần một điểm trong, trường hợp này tích phân phải được chia tại điểm đó. Đối với tích phân mà toàn tích phân hội tụ, các tích phân giới hạn trên cả hai vế phải tồn tại và phải bị chặn. Ví dụ:

∫ − 1 1 d x x 2 3 = lim s → 0 ∫ − 1 − s d x x 2 3 + lim t → 0 ∫ t 1 d x x 2 3 = lim s → 0 3 ( 1 − s 3 ) + lim t → 0 3 ( 1 − t 3 ) = 3 + 3 = 6. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0}\int _{-1}^{-s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0}3(1-{\sqrt[{3}]{s}})+\lim _{t\to 0}3(1-{\sqrt[{3}]{t}})\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}

Nhưng tích phân tương tự

∫ − 1 1 d x x {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}

không thể thể được gán một giá trị theo cách này, khi các tích phân ở trên và dưới không hội tụ độc lập. (Xem thêm giá trị chủ yếu Cauchy.)